Загадка про кофе с молоком
Задачка на сообразительность – ответ
Напомню, был задан следующий вопрос:
Комментарии открыты.
А правильный ответ (точнее, решение) я приведу в формулировке автора статьи «Обольстительные финансы» Ирины Григорьевой:
В этой задаче нет никаких числовых данных. Поэтому многие пытаются решить ее «логическим путем», а вернее, согласно своей интуиции. Ясно, что из второго стакана перелили не чистое молоко, значит, в первом его меньше ложки. Из этого делают вывод, что в первом стакане примесей меньше. Но надо учесть и тот факт, что из второго стакана часть кофе вернулась в первый, так что осталось его так же меньше ложки. Как же сравнить два искомых количества?
Один из способов – провести расчет. Для этого придется либо ввести несколько параметров (размеры стаканов, ложки), либо решать задачу на примере. Ведь судя по всему, результат не зависит от конкретных данных.
Но мы пойдем другим путем: сравним начальное и конечное состояние первого стакана. Дело в том, что общий объем налитых жидкостей не изменился. Значит, в первом стакане прибавилось ровно столько молока, сколько убавилось кофе.
А куда делся этот убавившийся кофе? Во второй стакан. Итак, молока в кофе и кофе в молоке будет поровну.
В этой задаче для нас интересен не ответ, а метод решения. Минуя все промежуточные вычисления, мы смотрим на конечный результат, используя некий «закон сохранения кофе и молока» или «закон одного стакана».
ЖЖ-сообщество 
Личные финансы
TOP-100 блогов финансовой тематики
Из чашки с молоком одну ложку молока переливают в чашку с кофе и тщательно размешивают. после этого одну ложку смеси переливают в чашку с молоком.
Не логично, что ” кофе в чашке с молоком ” больше. Мы же забрали не конкретно ложку кофе, в все вперемешку
Кофе с молоком
На первый взгляд кажется, что раз первым мы переливали молоко в кофе, то мы вылили туда целую ложку молока. Ведь во второй раз, переливая кофе с милком, в ложке кофе чуточку меньше, т.к. оно разбавлено. Сравниваем что больше – ложка молока, или чуть меньше ложки кофе? Конечно ответ очевиден – молока больше, поэтому молока в кофе больше, чем кофе в молоке!!!!!!!!!!!
Однако: Переливая кофе в молоко, мы ведь возвращаем небольшую толику молока обратно… т.к. у нас не чистый кофе в ложке, а кофе с молоком! Поэтому делаем вывод, что в результате мы перелили чуть меньше ложки молока в кофе, и чуть меньше ложки кофе в молоко…
все гениальное просто
1) 100 молока и 100 кофе
2) 95м и 100к 5м
100/5=20/1 5/20=0,25 5-0,25=4,75
3) 95м 4,75к 0,25м и во втором (100 – 4,75)к (5 – 0,25)м
в итоге получаем 95,25м 4,75к и 95,25к 4,75м
Вы, похоже, сами ничего не поняли. Правильное решение написал Chaos уже давным-давно:
<< объем обоих сосудов остается одинаков, значит если из молока убыло, то в кофе прибыло… а все что убыло было заменено кофе, следовательно в любом случае одинаково >>
И не надо тут никаких “допустим, 1/10, потом 10/11, 9/10 1/110 ..” и пр. Всё просто.
Сколько молока убыло из стакана молока, столько же туда было долито кофе. Ведь объёмы остались равными.
Вы просто отойдите от математики, а!!! попробуйте ч/з концентрацию (так-как химик по образованию).
1. Возьмите воду и кислоту (предположим 100%-й концентрации хотя такой не бывает для простоты) по 1 литру.
2. Из емкости с кислотой возьмите 100 мл и перелейте в емкость с водой и хорошенько перемешайте, получили 1100 мл подкисленной воды с концентрацией рассчитываемой по формуле 1100 мл подкисленной воды = 100%
100 мл влитой кислоты = х
отсюда Х=100*100/1100=9,09 %-ный раствор кислоты объемом 1100 мл
3. из второй емкости (с подкисленной водой концентрацией 9,09 %) переливаем в кислоту в первой емкости (где сейчас 900 мл) 100 мл
4 Во второй емкости получилась концентрация следующая, т.к. в переливаемых 100 мл всего 9,09 мл кислоты а остальное ВОДА составляющая 90,91 мл т.е. 909,09 мл (кислоты в первой емкости) при добавлении воды в количестве 90,91 мл концентрация кислоты снизится согласно вот такому действию:
1000 мл – 100%
909,09 мл – Х%
Отсюда Х=909,09*100/1000=90,909% Такова концентрация кислоты в первой емкости.
Вывод: 90,909 (концентрация кислоты в первой емкости) >> 9.09 (концентрация кислоты во второй емкости)
“Умникам”
Chaos считает, что :”объем обоих сосудов остается одинаков, значит если из молока убыло, то в кофе прибыло… а все что убыло было заменено кофе, следовательно в любом случае одинаково” Это утверждение было бы правильным, если бы мы предварительно взяли ложку кофе НЕРАЗБАВЛЕННОГО, а потом плеснули бы ложку молока в кофе, а кофе- в молоко. Тогда сохранились бы и объём, и концентрация. Но по условию задачи, коже уже был разбавлен молоком, когда мы зачерпнули оттуда ложку…как же в таком случае концентрация может быть одинаковой????
Поровну, я уверен
Предположим, что мы не ложку молока в кофе переливаем, а полстакана (100 гр из 200 гр). Получается, в стакане 2 будет 100 гр молока и 200 гр кофе. Теперь мы переливаем 100 гр смеси кофе и молока в стакан 1 с молоком. И в 1 и во 2 стакане жидкости по 200 гр. Но в первом стакане 100 гр молока 33,3… гр молока 66,6… кофе. Так как на каждые 100 гр во втором стакане приходится 1/3 молока и 2/3 кофе. В стакане 2 66,6 … гр кофе 66,6… гр кофе 33,3… гр молока 33,3… гр молока. В итоге в такане 1 133,3… гр молока и 66,6… гр кофе. В стакане 2 соответственно 133,3… гр кофе и 66,6… гр молока. Таким образом, всего поровну: что молока в кофе, что кофе в молоке.
Решение(Доказательство)
Пусть х – грамм молока в одной ложке, у – грамм коффе в одной ложке, А – количество ложек(молока или коффе)в одной чашке. Тогда в первай чашке находится Ах молока, а во второй – Ау коффе. После переливания ложки молока в чашку с коффем получаем такой расклад: 1-ая: (А-1)х, 2-ая: Ау х. То есть во второй чашке у нас А 1 ложек какой то новой смеси. Для выполнения следуещего переливания необходимо выразить всё содержимое второй чашки через !произведение количества ложек на количество граммов смеси в одной ложке{(то есть (А 1)*(граммов смеси в одной ложке)}. Запишем всё содержимое второй чашки через произведение количества ложек А 1 на граммов смесм в одной ложке: (А 1)*(Ау х)/(А 1)=(А 1)*(у х/А-у/А (у-х)/А-(у-х)/А^2 (у-х)/А^3-(у-х)/А^4 (у-х)/А^5…). Выглядет очень страшно, но если присмотреться, то во втором множителе можно увидеть две бесконечные убывающие геометрические прогрессии. Тогда содержимое второй чашки можно переписать так: (А 1)*(у х/А-У/А ((у-х)*А/(1-А^2))-(У-х)/(1-А^2)) = (А 1)*(у-(у-х)/А (У-х)*(А-1)/(1-А^2)). Теперь мы легко можем перелить ОДНУ ЛОЖКУ из второй чашки в первую: 1-ая чашка: (А-1)х (у (у-х)/А (А-1)*(у-х)/1-А^2))= Ах-х у (у-х)/А (х-у)/(А 1). Мы получили формулу, выражающую количество каждого елемента в ложках, и если прибавить, то сумма граммов будет равняться начальнму колву граммов в каждой чашке. Вспомним также, что ‘х’грамм !численно! равняется ‘у’грамм => колчество грамм каждого вещества В ЛОЖКАХ записывается в первой чашке так: (Ах-х у)=(А-1)х 1*у (ложек:А-1 1=А => верно). Аналогично для второй чашки получаем: Ау х-у (у-х)*А/А 1 = Ау-у х. Сравниваем полученніе смеси обеих чашек: Ау-у х и Ах-х у. Видим что соотношение У/х из перврго и х/у из второго равные => молока в коффе и коффе в молоке ОДИНАКОВОЕ КОЛИЧЕСТВО! Элементарное решение: Возьмите два квадрата(белый и чёрный)одинакого размера. После скольки угодно замен(переливаний)чёрных элементов белыми одного квадрата и наоборот(как угодно), как бы мы не старались, с условием что мы получаем квадраты одинакого размера, соотношение чёрных елементов к белым в одном квадрате ВСЕГДА будет равняться соотношению белых элементов к чёрным другого квадрата, ведь количество елементов ОДИНАКОВОЕ!(ещё раз повторю, что так всегда если полученные квадраты одинаковые). Вот и вся задача!
А вот при перелевании и стакана с кофе в стакан с молоком в ложке объем кофе в чистом виде будет меньше, чем в той же самой ложке было молока при первом переливании, так как в стакане с кофе мы уже имеем раствор молока. Таким образом в стакан с молоком кофе по обьему попадет меньше, чем молока попало в стакан с кофе. А значит в кофе больше молока, чем кофе в молоке.
И господину eruditor’у лично: не стоит обвинять людей в тупости только потому, что они с вами не согласны. Они ищут решение и предлагают свои варианты. Ваша задача доказать свою точку зрения, а не отправлять перечитывать варианты, которые могут быть так же ошибочны, как и ваш, и мой, и любой другой. За сайт огромное спасибо. Только будьте более “абстрагированы”, чтоли. Вариант предложили – обдумайте его. И напишите, где по вашему мнению человек не прав. а фразы типа: “Ещё один “умный”?.. ” не говорять о вашей интеллигентности и желании вести конструктивную дискуссию.
ВСЕ ПРОСТО
допустим 100 мл кофе и 100 мл молока. 100 мл кофе пусть равняется 100гр, а 100 мл молока 125 гр. берем 5 мл (ложка) из молока, добавляем в кофе. в стакане осталось 95 мл или 118,75 гр молока. в кофе получается 105 мл или 106,25 гр СМЕСИ (т.к. 5 мл молока это 125гр*5мл/100мл=6,25гр). из этой смеси убираем 5 мл обратно в молоко, в граммах это 5,06, остается 100 мл или 101,19 гр. в молоке становится снова 100 мл, но уже 123,81 гр. (118,75 5,06). при этом смеси будут содержать кофе с молоком 94,12% (106,25гр/100мл * 100%)кофе и 5,88% молока, а молоко с кофе это 4,08% кофе и 95,9% молока (%смеси считать правильно по граммам, а не по объемам).
если после смешивания в первом стакане больше кофе, чем молока во втором, значит в первом стакане молока меньше, чем кофе во втором, и в сумме кофе в обоих стаканах больше, чем молока в обоих стаканах. противоречие. P.S.: чтобы было более наглядно нарисуйте на бумаге два стакана и кофе с молоком в них, но чтобы кофе и молоко выглядели не растворенным друг в друге, например молоко снизу, кофе сверху в первом стакане, во втором – наоборот.
Ловкость рук и никакого обмана
Туда несли одну полную ложку молока (1). Оттуда несем ложку кофе (1) минус “чуть-чуть”(х) молока. Значит, в молоке кофе будет ложка минус “чуть-чуть” молока, т.е. 1-х (это чистый кофе, который попал в молоко). А теперь посмотрим, сколько молока в кофе осталось: ложку мы отнесли, но “чуть-чуть” забрали обратно, т. е. там осталось ложка минус “чуть-чуть”, а это и есть 1-х.Примечание: отметим, что “чуть-чуть” это именно тот самый х, который мы несли на ложке обратно. Вот и получается, что одинаково.
Формальная логика:
Допустим, возьмём произвольный объём стаканов — 100 г, следовательно, кофе и молока по 50 г, так же ,предположим, объём ложки 10 г. В задаче можно выделить 3 наблюдательных этапа:
1) Стакан молока есть раствор; стакан кофе есть раствор (отношение кофе к молоку 50:50)
2) Стакан кофе — смесь; стакан молока — раствор (60:40)
3) Стакан кофе — смесь; стакан молока — смесь (50:50)
По закону тождества: объём одного и другого стакана, как были по 50 г, таковыми и остались, а растворы стали смесями, но при этом сохранили себя как субстанцию. Значит, если 50г — 50г, смесь — смесь, сделаем вывод, что молока в кофе как и кофе в молоке — одинаково.
Неформальная логика:
Так как размер ложки не играет роли в эксперименте, мы абстрагируемся и представляем, что она равна размеру стакана. Логично представить, что мы уже просто переливаем содержимое молока в содержимое кофе, а потом всю смесь в 1ый стакан. Молока как и кофе — одинаково.
В том-то и дело, что не сказано. Значит, не запрещено. Какая разница, будет это столова ложка или чайная, тем более, не зависит от того, какая ложка у вас в наличии. В этом и заключается умение решать задачи — виртуально проводить эксперимент. А если у вас нет ложки объема стакана, могу отдолжить вам свой черпачок — мысленно. Чтоб вы знали, смысл задачи даже не зависит об объема посуды, они даже могут быть неодинаковыми, ведь вопрос в задаче касается только того количества кофе и молока, кот. переносится ложкой (той, кот. есть под рукой).
Ответ “поровну”, имхо, корректен только в том случае, если объём остаётся постоянным. Но. Я не уверен, что это так.
Пример: в одном стакане вода, в другом сахар — суммарный объём 2V. Пересыпав ложку сахара в воду и размешав, вы получите суммарный объём меньше 2V, ибо молекулы сахара “встроились” между молекулами воды, увеличив плотность раствора (объём стакана с водой не изменился, либо изменился менее, чем был объём ложки сахара).
Т.к. кофе и молоко — разные вещи и вполне вероятно, что эффект “сахара” присутствует, то задачка не так проста, как кажется. Плясать нужно от массы, а не от объёма — масса неизменна, а объём, имхо, может измениться.
Надеюсь понятно донёс мысль.
Помогал дочери делать математику (5 класс). Там эта задачка про молоко и чай. Немного запутался и решил глянуть в инете. Наткнулся на это древнее обсуждение. Что я понял. 1) не важно какие объёмы, 2) не нужно заморачиваться сколько чего оказалось в том или ином стакане, 3) главное — это ложка и пропорции жидкостей в ней. После того, как мы вылили ложку молока в чай (или кофе), получился раствор, который мы черпаем этой же ложкой и выливаем в первую чашку. Так вот, сколько в этой ложке поместилось чая (или кофе), столько молока не поместилось, а осталось в чашке №2. Получается, сколько чая (или кофе) мы вылили в 1 чашку, столько молока осталось во 2-й. Поровну. Всем спасибо.
Это не задача, это загадка. Задачи — решают, загадки — отгадывают, причём не всегда… Если вернуться к вопросу “загадки”, ответ очевиден: молока в кофе больше. Почему? Потому что: ложку чистого молока влили в стакан чистого кофе. Получили раствор: кофе с молоком. Теперь в стакане кофе не чистый, а вот молоко во втром стакане по-прежнему чистое. И объёмы тут ни при чём! Теперь, берём раствор кофе с молоком — ложку и вливаем в стакан с молоком. Влили мы туда РАСТВОР, в котором далеко не по-ровну кофе и молока, а гораздо больше кофе, но всё равно кофе в этом растворе намного меньше, чем было ЧИСТОГО молока при первом “вливании” в кофе. Без формул понятно, что влили мы чистое молоко, а вернули обратно — раствор! Таким образом — чистого молока в кофе попало и осталось там гораздо больше, чем кофе в растворе, который вернулся обратно! Задумайтесь! Прямая отгадка: молока в кофе -больше. И “объёмы” — ни при чём. Возьмите стакан песка и стакан манки… поэкспериментируйте! И не надо футболистов “смешивать” — с ними задача не решается вообще!
На языке математических доказательств и формул решение такое:
1. В начальный момент было:
Объём и состав Стакана №1 = nx, где n — количество ложек, x — объём одной ложки кофе.
Объём и состав Стакана №2) = ny, где n — количество ложек, y — объём одной ложки молока.
2. После первого переливания (считаем, что жидкость не перельётся через край Стакана №2).
Объём и состав Стакана №1=nx-x
Объём и состав Стакана №2=ny x
3. Второе переливание: ложка будет состоять из:
zx y(1-z), где z — процентное содержание кофе в переливаемой ложке (0<= z <=1).
Тогда:
Объём и состав Стакана №1=nx-x zx y(1-z)
Объём и состав Стакана №2=ny x-zx-y(1-z)=ny x(1-z)-y(1-z)
В выражении для Объёма и состав Стакана №1 содержание молока y(1-z);
в выражении для Объёма и состав Стакана №2 содержание кофе х(1-z).
Следовательно, молока в кофе и кофе в молоке — одинаково (так как коэффициенты при x и y — равны).
PS Данное решение показывает, что результат не зависит от идеальности перемешивания ложки кофе в стакане молока. Представьте два бесконечно больших стакана и обычную ложку средних размеров. При втором переливании мы можем зачерпнуть только молоко, не захватив ни одной молекулы кофе. При этом приведенное решение остаётся верным.
Не могу найти четкого объяснения, что одинаково. На мой взгляд молока в кофе больше.
Согласна, что это не задача, а загадка. Где вообще в условии или в вопросе хоть слово про объем? Значит с объемами вообще отпадают все варианты. И ещё, в вопросе вообще только 2 варианта ответа предполагаются. Ну ладно.
С футболистами точно не подходящее объяснение, их смешать невозможно. И шарики, кстати, тоже. С чего вдруг взяли 9 черных и 1 белый. Если все смешалось (у нас же жидкости и они равномерно смешиваются в идеале), то надо брать 9.5 черных и 0.5 белого. Тогда ответ очевиден, только не в пользу одинаковости.
Никакие уравнения и пропорции для решения этой задачи не нужны.
Самое важное, на что надо обратить внимание, что оба раза переливается одинаковое количество жидкости. В этом ключ к решению задачи.
Причем, совершенно не важно, какой объем имеет стакан с молоком (стакан N1) и кофе (стакан N2). Они могут быть какие угодно, это не влияет на ответ.
Для наглядности, представим себе, что жидкость состоит из шариков одинакового размера, которыми заполнены оба стакана. Шарики молока — «БЕЛЫЕ», а шарики кофе – «ЧЕРНЫЕ». Представили?
Теперь перейдем к мерной ложке, в нее помещается некоторое количество этих шариков «К» штук. К тому же, совершенно не важно, какое количество шариков помещается в ложку. Допустим, что «К» = 154 шарика, возьмем произвольное число.
Теперь, опишем наши действия:
1)Когда мы зачерпнули из стакана молока ложкой, то в ней оказалось «К» = 154 белых шарика. Затем все их высыпали в стакан с кофе — черными шариками и перемешали.
2)Шарики как-то перемешались между собой. Той же ложкой мы опять зачерпнули «К» = 154 шарика. Допустим, что в ложке оказалось: 99 «ЧЕРНЫХ» шарика 55 «БЕЛЫХ» шарика.
3)Затем мы содержимое этой мерной ложки «К» = 154 шарика =(Ч99 Б55) вылили в стакан N1 с молоком.
Т.о. «Б55» — молочных «БЕЛЫХ» шариков вернулось в молоко, а «Ч99» — «ЧЕРНЫХ» кофейных шариков попали в молоко в виде примеси кофе.
4)В мерную ложку вмещается всего «К» = 154 шарика, а «Б55» — молочных «БЕЛЫХ» шариков, в результате второго переливания вернулись в молоко.
А это значит, то в кофе (стакан N2) попало 154-55=99 молочных «БЕЛЫХ» шариков. То же самое количество шариков.
Другими словами стаканы обменялись одинаковым количеством шариков разного цвета.
И так будет всегда!
Теперь представим себе стаканы N1 и N2 разного размера. Представим себе даже, что и перемешивание было сделано небрежно. Это, по сути, не влияет на ответ.
В этом и есть красота этой задачи.
1) «К» «БЕЛЫХ» шариков молока влили в кофе,
2)затем смесь: «К» = «ЧЕРНЫЕ» «БЕЛЫЕ», влили в молоко.
В результате, сколько «ЧЕРНЫХ» попало в молоко, столько же «БЕЛЫХ» осталось а кофе.
Никакие уравнения и пропорции для решения этой задачи не нужны.
Самое важное, на что надо обратить внимание, что оба раза переливается одинаковое количество жидкости. В этом ключ к решению задачи.
Причем, совершенно не важно, какой объем имеет стакан с молоком (стакан N1) и кофе (стакан N2). Они могут быть какие угодно, это не влияет на ответ.
Для наглядности, представим себе, что жидкость состоит из шариков одинакового размера, которыми заполнены оба стакана. Шарики молока — «БЕЛЫЕ», а шарики кофе – «ЧЕРНЫЕ». Представили?
Теперь перейдем к мерной ложке, в нее помещается некоторое количество этих шариков «К» штук. К тому же, совершенно не важно, какое количество шариков помещается в ложку. Допустим, что «К» = 154 шарика, возьмем произвольное число.
Теперь, опишем наши действия:
1)Когда мы зачерпнули из стакана молока ложкой, то в ней оказалось «К» = 154 белых шарика. Затем все их высыпали в стакан с кофе — черными шариками и перемешали.
2)Шарики как-то перемешались между собой. Той же ложкой мы опять зачерпнули «К» = 154 шарика. Допустим, что в ложке оказалось: 99 «ЧЕРНЫХ» шарика 55 «БЕЛЫХ» шарика.
3)Затем мы содержимое этой мерной ложки «К» = 154 шарика =(Ч99 Б55) вылили в стакан N1 с молоком.
Т.о. «Б55» — молочных «БЕЛЫХ» шариков вернулось в молоко, а «Ч99» — «ЧЕРНЫХ» кофейных шариков попали в молоко в виде примеси кофе.
4)В мерную ложку вмещается всего «К» = 154 шарика, а «Б55» — молочных «БЕЛЫХ» шариков, в результате второго переливания вернулись в молоко.
А это значит, то в кофе (стакан N2) осталось после этого 154-55=99 молочных «БЕЛЫХ» шариков. То же самое количество «БЕЛЫХ» шариков, что попало в стакан N1 в виде примеси «ЧЕРНЫХ» кофейных шариков.
Другими словами стаканы обменялись одинаковым количеством шариков разного цвета.
И так будет всегда!
Теперь представим себе стаканы N1 и N2 разного размера.
Представим себе даже, что и перемешивание было сделано небрежно. Все эти допущения, по сути, не влияют на ответ.
В этом и есть красота этой задачи.
1) «К» — «БЕЛЫХ» шариков молока влили в кофе,
2)Затем смесь: «К» = «ЧЕРНЫЕ» «БЕЛЫЕ», в любом соотношении влили обратно в молоко.
3)В результате этого две жидкости обменялись равным количеством примесей. Сколько «ЧЕРНЫХ» попало в молоко, столько же «БЕЛЫХ» осталось в кофе.
