микра определения Flashcards | Quizlet

– зависимость между ценой и количеством экономического блага, которое потребители

хотят

и

готовы (финансово могут)

приобрести в течение некоторого промежутка времени. Может описываться функциями $Q(P)$ или $P(Q)$.

Возможный вид кривой спроса:

Определение 2
Величина спроса – максимальное количество экономического блага, которое потребители желают и готовы купить при данном значении цены.

Определение 3
Цена спроса – максимальное значение цены, при котором потребители желают и готовы купить данное количество экономического блага.

Существует закономерность, актуальная для многих товаров, но не для всех. Эта закономерность называется законом спроса.
Закон спроса: при повышении цены экономического блага величина спроса сокращается, то есть имеет место отрицательная зависимость между ценой товара и величиной спроса. Следовательно, график спроса зачастую имеет отрицательный наклон.

При изменении величины спроса сама функция спроса не изменяется. Мы просто переходим из одной точки графика спроса в другую, двигаемся вдоль кривой спроса. Причиной изменения величины спроса является изменение цены данного блага.

При изменении спроса меняется вся функциональная зависимость. Изменяется количество потребляемого блага при каждом возможном уровне цены.

График спроса двигается либо вправо вверх (при увеличении спроса),

либо влево вниз (при уменьшении спроса).

Увеличение спроса означает, что при данном уровне цены покупатель теперь хочет и может купить большее количество блага, чем раньше ($Q_2>Q_1$):

уменьшение спроса означает, соответственно, что теперь покупатель хочет и может купить меньшее количество блага при данной цене ($Q_2 < Q_1$):

Возможные причины изменения спроса:

1. Изменение цены заменяющего товара.
   Пусть у нас имеется 2 товара-заменителя $x$ и $y$ (для нас не имеет значения, какой товар потреблять). Если цена товара $y$ понизится, то величина спроса на данный товар увеличится. Мы перейдем из точки $Q_1$ в точку $Q_2$. Так как теперь нам более выгодно покупать товар $y$. Следовательно, при каждом возможном значении цены товара $x$ количество покупаемого блага $x$ может уменьшиться. Спрос на товар $x$ уменьшается.

   

2. Изменение цены дополняющего блага.
   Также пусть имеется 2 блага $x$ и $y$, только теперь они употребляются в определенной пропорции. Предположим, что цена товара $y$ уменьшилась. Теперь мы можем тратить меньше денег на покупку старого количества данного блага. Сэкономленные деньги можно пустить на приобретение дополнительных комплектов обоих товаров. Следовательно, при каждом возможном значении цены товара $x$ можно потреблять большее количество данного блага. Спрос на товар $x$ увеличивается.

   

3. Доход потребителя.
   Здесь следует сказать, что существуют нормальные экономические блага и инфериорные.

   Определение 4
   Нормальное экономическое благо – такой товар, спрос на который растет с увеличением дохода потребителя.

   Определение 5
   Инфериорное экономическое благо такой товар, спрос на который уменьшается с увеличением дохода потребителя.

4. Количество покупателей.
   При увеличении количества покупателей спрос увеличивается, при уменьшении, соответсвенно, уменьшается.
5. Вкусы, мода, сезонность…
   В моду могут войти, например, желтые галстуки, тогда спрос на них вырастет. Зимой, например, может увеличится спрос на лыжи, а летом – на велосипеды.

На рынке зачастую существует большое количество покупателей, имеющих различные функции спроса. В некоторых задачах нужно найти

рыночный спрос

– количество товара, покупаемого всеми потребителями при каждом уровне цены.

Существует великое разнообразие функций спроса. Разберемся с сложением типичных функций на данных примерах:

Задача 1
Пусть спрос первой группы потребителей описывается функцией $Q=10-P$; второй группы $Q=15-3P$. Найти рыночный спрос.

Первый покупатель вступает на рынок при цене, равной 10, второй – при цене, равной 5. Следовательно, спрос на данном участке, при $P$ принадлежащей промежутку $[10;5)$, предъявляется только первой группой покупателей: $Q=10-P$. Две группы потребителей покупают данный товар при $P$, принадлежащей промежутку $[5;0]$. Для получения функции рыночного спроса мы имеем право сложить функции спроса двух групп: $Q=10-P 15-3P=25-4P$.

Ответ: $Q=10-P$, если $P in [10;5)$; $P=25-4P$, $P in [5;0]$.

Задача 2
Сложите данные функции спроса:

Первая группа потребителей будет покупать максимально 5 единиц товара при любой цене, а вторая группа готова приобретать любое количество товара при цене не большей 5.

При $P=infty$ покупается 5 единиц товара. Следующий потребитель вступает при цене, равной 5. При данной цене будет покупаться $Q=infty$.

Экономическим агентом, производящим различные товары и услуги, является фирма. На рынке именно фирмы формируют предложение экономических благ. О фирме и её деятельности мы будем говорить несколько следующих недель.

Основной целью деятельности фирмы является максимизация прибыли (прибыль часто обозначается символом $pi$). Что такое прибыль? Это разница между выручкой ($TR$, как мы помним) и общими издержками ($TC$ – total cost) – то количество денег, которое фирма заработала, минус то количество денег, которое она потратила.

$pi=TR-TC$

Функция прибыли является зависимостью между количеством экономического блага, которое фирма может произвести, и, собственно, самой прибылью, которую она получит от продажи некоторого объёма блага:

$pi(Q)=TR(Q)-TC(Q)$

Перед тем как перейти к максимизации прибыли остановимся поподробнее на теме выручки и теме издержек.

– это доход (денежная сумма), который фирма получает от продажи по некоторой цене какого-то количества произведенной продукции:

$TR=Pcdot Q$

Функция выручки – зависимость между количеством производимого блага и величиной денежной суммы, получаемой от продажи товара. Функция выручки выводится из спроса:

$TR=P(Q)cdot Q$

Функции выручки могут иметь совершенно разнообразный вид:

Пример 1

Функция спроса описывается зависимостью $Q(P)=dfrac{100}{P}$. Найти функцию выручки.

Выразим обратную функцию спроса: $P(Q)=dfrac{100}{Q}$; теперь найдем функцию выручки: $TR=dfrac{100}{Q} cdot Q=100$. В данном случае выручка постоянна, не зависит от количества производимого блага и равна 100.

Подробнее о функции выручки мы будем говорить, когда будем изучать рыночные структуры.

Определение 2
Средняя выручка (AR – average revenue) показывает, какую выручку в среднем приносит единица продаваемого товара:

$AR=dfrac{TR}{Q}$

Геометрический смысл средней выручки – тангенс угла наклона луча (секущей), проведенного из начала координат к какой-нибудь точке на графике выручки:

$tg alpha = dfrac {TR^*}{Q^*}$

Проведя огромное количество лучей к графику выручки мы сможем получить график средней выручки $AR$.

Так среднюю выручку можно описать функцией, вид которой будет совпадать с обратной функцией спроса:

$AR=dfrac{TR(Q)}{Q}=P(Q)$

Определение 3
Предельная выручка (MR – marginal revenue) показывает, какую выручку принесет дополнительная произведенная единица товара.

В дискретном случае предельная выручка будет равна $MR=dfrac {TR_2-TR_1}{Q_2-Q_1}=dfrac{Delta TR}{Delta Q}$

Геометрический смысл предельной выручки – тангенс угла наклона секущей, соединяющей точки $(Q_2;TR_2)$ и $(Q_1;TR_1)$.

Если мы предполагаем, что производимый нами товар является бесконечно делимым, то нам будет интересно узнать какую выручку принесет дополнительная бесконечно малая единица выпускаемого блага.

Тогда геометрический смысл в данном случае будет следующий: MR есть тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции выручки в интересующей нас точке.

Проведя множество касательных к разным точкам сможем построить функцию предельной выручки:

В данном случае предельная выручка будет производной функции выручки: $MR(Q)=TR'(Q)$.

Пример 2

Функция спроса описывается уравнением $Q(P)=10-P$. Найти функции TR, AR, MR и изобразить их графики.

Выразим обратную функцию спроса: $P(Q)=10-Q$. Теперь найдем функцию выручки: $TR(Q)=P(Q)cdot Q=10Q-Q^2$. Можно найти функции средней и предельной выручки: $AR(Q)=dfrac {TR(Q)}{Q}=10-Q$, $MR(Q)=TR'(Q)=10-2Q$. Изобразим графики:

Максимизация функции выручки выполняется так же, как и любой другой функции – можно использовать производную (подробнее о максимизации функции можете узнать здесь), а можно обойтись без нее (подробнее здесь)

Пример 3
Обратная функция спроса имеет вид: $P(Q)=20-2Q$. Найти максимальную выручку.

Запишем функцию выручки: $TR=20Q-2Q^2$. Это парабола, ветви вниз. Найдем точку максимума: $x_0=-dfrac{b}{2a}=dfrac{20}{4}=5$. Подставим данную точку в функцию выручки: $TR=20cdot 5-2cdot 25=100-50=50$.

Также для функции $AR$ $TR$ в точке будет является произведением значений координат на осях:

для $MR$ – $TR$ в точке есть площадь под графиком функции, слева ограниченная осью $P$, справа перпендикуляром к оси $Q$, проведенным из интересующей нас точки:

Фирмы являются основными поставщиками продукции на рынки. Для производства экономических благ фирмы привлекают необходимые ресурсы и поэтому несут некоторые издержки.

Общие издержки (TC – total cost) – затраты, связанные с использованием всех ресурсов, задействованных в производстве блага.

Издержки могут быть явными и неявными. Явные издержки – это затраты на привлечение различных факторов производства (ресурсов). К явным издержкам могут относиться, например, зарплата работников или затраты на аренду помещения. Неявные издержки – это альтернативная стоимость собственных средств, то есть наша упущенная выгода – стоимость наилучшего из всех вариантов вложения собственных ресурсов, от которого мы отказались ради использования их в данном деле. Например, если некто мог бы получать в трех разных местах зарплату в 60, 70, 80 тысяч долларов в месяц, то альтернативная стоимость руководства собственным предприятием для него равна 80 тысяч долларов в месяц. Это его неявные издержки.

$TC{экономические}=TC{явные} TC{неявные}$

Как уже было сказано выше, фирма для производства продукции привлекает определенные ресурсы – использует различные факторы производства. В задачах мы будем говорить об использовании только двух факторов производства – труда (L) и капитала (K). Ответ на вопрос “что такое труд?” довольно очевиден, а что же такое капитал? Это все оборудование, которое используется в процессе производства – станки, здания, сооружения… Мы будем рассматривать в задачах только издержки, связанные с использованием труда и с использованием капитала. Также мы будем разделять издержки на переменные (VC – variable cost) и постоянные издержки (FC – fixed cost).

Группа, к которой относятся издержки зависит от периода, в котором работает фирма.

Переменные издержки – затраты, связанные с использованием переменного фактора производства. Переменный фактор производства – такой ресурс, количество которого мы можем изменить в данном периоде.

Постоянные издержки связаны с использованием ресурса, количество которого мы не можем изменить в данном периоде.

Всего выделяют три периода:

Долгосрочный период (LR – long run) – период, в котором все факторы производства – и труд, и капитал – являются переменными. Это относительно большой промежуток времени, за который можно изменить и количество труда, и количество капитала – нанять или уволить рабочих, закупить и установить новые станки, построить новое здание для завода.

$TC=VC$
$VC=w cdot L r cdot K$, где w (wages) – зарплата работникам, L – их количество, r (rate) – плата за капитал, K – количество капитала.

Краткосрочный период (SR – short run) – период, в котором один из факторов производства является переменным, другой – постоянным – затраты на труд являются переменными издержками, а на капитал – постоянными. Это время, за которое можно нанять новых работников, например, но нельзя заменить оборудование.

$TC=VC FC$
$VC=wcdot L$
$FC=rcdot K$

Мгновенный период – все ресурсы являются постоянными.

$TC=FC$
$FC=w cdot L r cdot K$

Общие издержки могут задаваться функцией, зависящей от количества производимой продукции, ибо для производства разных объемов товара может быть целесообразно использование разного количества ресурсов. Функция издержек является неубывающей функцией (предположите, почему).

$TC(Q)=VC(Q)$ – в LR – можно изменять количество и переменного, и постоянного фактора производства

$TC(Q)=VC(Q) FC$ – в SR – изменять можно только количество переменного фактора производства

Поговорим более подробно о краткосрочном периоде.

$TC=VC(Q) FC$

$VC(Q)=wcdot L$ – переменные издержки – затраты на труд.

$AVC(Q) =dfrac{VC(Q)}{Q}$ – средние переменные издержки. Показывают, какое количество переменного фактора производства (труда) необходимо для производства единицы продукции.

Геометрический смысл средних переменных издержек такой же как и у средней выручки – тангенс угла наклона луча, проведенного из начала координат, к интересующей нас точке.

$FC=const=rcdot K$ – постоянные издержки. Показывают затраты, которые мы несем при использовании имеющегося у нас количества постоянного фактора производства (капитала).

Имея функцию общих издержек постоянные затраты можно посчитать так: подставляем $Q=0$, получаем $TC(0)=FC$

$AFC(Q)=dfrac{FC}{Q}$ – средние постоянные издержки. Показывают, какое количество постоянного фактора производства (капитала) необходимо для производства единицы продукции.

Геометрический смысл средних постоянных издержек – тангенс угла наклона луча, проведенного из начала координат, к интересующей нас точке.

$AC(Q)=dfrac{VC(Q) FC}{Q}=AVC(Q) AFC(Q)$ – средние общие издержки. Показывают, какое количество переменного и постоянного факторов производства необходимо для производства единицы продукции.

Геометрический смысл средних общих издержек аналогичен геометрическому смыслу других средних величин.

Предельные издержки (MC – marginal cost) – затраты, которые мы понесем при производстве дополнительной единицы блага.

В дискретном случае $MC=dfrac{MC_2-MC_1}{Q_2-Q_1}$

Геометрический смысл предельных издержек в данном случае – тангенс угла наклона секущей, соединяющей точки $(Q_1;MC_1)$ и $(Q_2;MC_2)$.

Если товар бесконечно делим, то $MC(Q)=TC'(Q)=VC'(Q)$

Геометрический смысл предельных издержек в этой ситуации – тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику $TC$ или $VC$ в интересующей нас нас точке

Пример
Функция средних переменных издержек имеет вид $AVC(Q)=17$, средних постоянных – $AFC(Q)=dfrac{10}{Q}$. Найдите функцию общих издержек

$AC(Q)=AVC(Q) AFC(Q)=17 dfrac{10}{Q}$
$TC(Q)=AC(Q)cdot Q = 17Q 10$

Фирма производит свою продукцию, следуя определенной

технологии

.

Производственная функция показывает налучшую технологическую зависимость между количеством используемых ресурсов и объемом выпуска.

$Q=f(L;K)$

Из производственной функции можно вывести функцию издержек.

Пример 1
Дано: $Q= L cdot K$, $w=4$, $r=1$, найти функцию общих издержек.

В данном случае можно или минимизировать издержки при выбранном уровне $Q$, или максимизировать объем выпуска при данном уровне издержек.

Воспользуемся методом 2:

$TC=wL rK$

$TC=4L K$

Как уже не раз случалось, мы опять встречаем функцию, зависящую от двух переменных. Зафиксируем $TC$, выразим $L$ через $K$:

$K=TC^*-4L$

Что касается производственной функции – зафиксируем $Q$, выразим $L$ через $K$:

$K=dfrac{Q^*}{L}$

Имеем схожую ситуацию с задачей максимизации полезности, только в данном случае у нас цель – максимизировать объем выпускаемой продукции:

Возьмем производную обеих функций по $L$, найдем точку, в которой они равны, найдем точку касания графиков

(Почему именно касания? Если бы мы выбрали более низкий уровень $Q^*$, то мы получили бы более низкую производственную функцию, произвели бы меньше продукции с теми же издержками:

Если мы бы выбрали слишком высокий уровень $Q$, то данный объем производства был бы недостижим при данном уровне издержек:

$-4=-dfrac{Q^*}{L^2}$

Выразим $L$ ($L>0$):

$L=sqrt{dfrac{Q^*}{4}}=dfrac{sqrt {Q^*}}{2}$

Подставим в производственную функцию, выразим $K$:

$K=2sqrt{Q^*}$

Теперь подставим $L$ и $K$ в функцию издержек, $Q$ снова является переменной:

$TC=dfrac{4sqrt{Q}}{2} 2sqrt{Q}=4sqrt{Q}$

Пример 2
Производственная функция является линейной: $Q=2L K$, $w=4$, $r=1$, $TC(Q)-?$

Действовать будем в целом аналогично предыдущему варианту, но в этот раз попробуем использовать метод 1: будем минимизировать издержки при выбранном уровне $Q$:

$TC=4L K$

$K=TC^*-4L$

$K=Q^*-2L$

Имеем 2 линейные функции, будем двигать функцию издержек вниз, пока она не достигнет оптимального положения:

(Если мы выберем более высокий уровень издержек, то вступим нерационально – такой же объем выпуска при больших издержках. Зачем? Если выбрать более низкий уровень издержек, то невозможно будет произвести нужный объем продукции) .

Оптимальное положение будет достигнуто в точке, где количество капитала максимально, а труда равно нулю. Тогда:

$Q=K$

$TC=K$

$TC=Q$

Эффект масштаба показывает во сколько раз изменится $Q$ после увеличения всех используемых ресурсов в одинаковое число раз $t$ по сравнению с первоначальным $Q$, увеличенным в $t$ раз.

$Q_{новое}(tL;tK)$ vs $tQ(L;K)$

Если $Q_{новое}(tL;tK) > tQ(L;K)$, то эффект масштаба положительный, если $Q_{новое}(tL;tK)=tQ(L;K)$, то постоянный, если $Q_{новое}(tL;tK) < tQ(L;K)$, то эффект масштаба отрицательный.

Пример 3
$Q=4L K^2$, какой эффект масштаба наблюдается в данной ситуации?

$(tK)^2 4tL$ vs $t(K^2 4L)$

$t^2K^2 4tL$ vs $tK^2 4tL$

$t^2$ vs $t$

$t>1$, следовательно эффект масштаба положительный

TP – total product (он же Q), общий продукт труда – показывает зависимость объема выпуска продукции от количества переменного ресурса при прочих равных условиях.

Функция $TP$:

i участок – функция растет ускоряющимся темпом, при найме каждого последующего работника объем выпуска увеличивается на все большую и большую величину;
ii участок – функция растет замедляющимся темпом, при найме каждого дополнительного работника объем выпуска увеличивается на все меньшую величину;
iii участок – $TP$ убывает. При производстве товара может наступить такой момент, когда дополнительная единица переменного ресурса (труда обычно) уже не способствует увеличению производимой продукции. Дополнительно нанятый работник может только мешать. Например, если у нас имеется всего один станок, и мы наняли 50 рабочих, то они будут только мешать друг другу, стопившись у этого единственного механизма.

$AP_(L)$ average product, средний продукт (труда) – показывает, сколько в среднем единиц продукции приходится на одну единицу переменного ресурса:

$AP_L=dfrac{TP}{L}$ (бывает $AP_K=dfrac{TP}{K}$)

$AP_L(L)=dfrac{TP(L)}{L}$

Геометрический смысл среднего среднего продукта труда такой же как и у других средних величин – тангенс угла наклона луча, проведенного из начала координат (секущей) к точке на графике общего продукта труда.

$MP_(L)$ – marginal product, предельный продукт (труда) – показывает прирост общего продукта при увеличении переменного ресурса на единицу.

В дискретном случае $MP_L=dfrac{TP_2-TP_1}{L_2-L_1}$.

Геометрический смысл предельного продукта в данном случае – тангенс угла наклона секущей, соединяющей точки $(L_1;TP_1)$ и $(L_2;TP_2)$.

Если ресурс бесконечно делим, то $MP_L=TP'(L)$

Геометрический смысл предельного продукта в этой ситуации – тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику $TP$ в интересующей нас нас точке.

Пример 4
$Q(L)=30L-L^2$, найти $AP_L$, $MP_L$

$AP_L=dfrac{Q(L)}{L}=30-L$

$MP_L=Q'(L)=30-2L$

На рынке могут складываться специфические условия, оказывающие заметное влияние на деятельность фирм. Главными особенностями совершенно конкурентного рынка являются:

1. Большое количество фирм, каждая фирма имеет небольшую долю рынка большое количество покупателей
2. Однородность продаваемого товара – для потребителя не имеет значения, какой товар покупать, он не различает продукцию различных фирм
3. Отсутствие барьеров входа/выхода – любая фирма способна начать безубыточное функционирование (не надо покупать лицензию, нет необходимости в больших вложениях в оборудование); любая фирма способна прекратить производство без дополнительных издержек, связанных с ликвидацией
4. На совершенно конкурентном рынке отсутствует стратегическое поведение фирм. Каждая фирма слишком мала для того, чтобы своими действиями повлиять на остальной объем продаж и цену на рынке. Отдельный продавец, конечно, может установить на свой товар цену, отличную от рыночной, но если его цена будет выше цены, по которой продают его конкуренты, то никто не купит товар данного продавца, а если его цена будет ниже сложившейся на рынке цены, то он, возможно, просто продаст свой товар быстрее остальных производителей, также в данном случае фирма может получить отрицательную прибыль, рыночная цена при этом не поменяется. Также у фирм на совершенно конкурентном рынке нет рыночной власти – фирма не может повлиять на цену, сложившуюся на рынке, путем изменения количества продаваемой продукции. Покупатели также не имеют монопольной власти на совершенно конкурентном рынке – их как и фирм слишком много
5. На совершенно конкурентном рынке царствует полная информированность – все продавцы и все покупатели знают все о каждой совершенной сделке, о количестве проданной продукции, о ее цене.
6. На рынке данного типа отсутствует неценовая конкуренция – фирмы, например, не рекламируют свой товар. Им это невыгодно, ибо рекламные издержки увеличивают общие затраты фирмы, что для нее не очень благоприятно – если она увеличит цену (а конкуренты оставят ее на прежнем уровне), чтобы покрыть издержки на рекламу, она лишится всех своих покупателей, если она не станет менять цену, то ее прибыль по сравнению со страной уменьшится, ибо фирме не стоит рассчитывать на компенсацию издержек на рекламу за счет большого увеличения количества покупателей – товар на рынке однородный, прирост покупок может равномерно распределиться среди всех продавцов

Совершенная конкуренция в чистом виде в реальности довольно редкое явление. Биржевая торговля кофе или пшеницей может подойти под данное описание.

На совершенно конкурентном рынке готовность фирм продать какое-то количество товара по какой-то цене описывается функцией

предложения ($S$ – supply).

Функция предложения ($P(Q)$) показывает, какое количество товара по какой цене фирма готова продать. Рыночная функция предложения, так же как и рыночная функция спроса, получается путем суммирования индивидуальных функций предложения (функций предложения отдельных фирм).

На нерегулируемом рынке продается и покупается такое количество продукции и по такой цене, которые устраивают и продавцов, и покупателей. Равновесная цена ($P^*$) и равновесное количество ($Q^*$) продукции соответствуют точке пересечения кривых спроса и предложения.:

Именно цену в точке равновесия ($P^*$) каждая отдельная фирма воспринимает как заданную.
Обозначим эту цену просто за $P$. $P=const$. Тогда $TR=P cdot Q=const cdot Q$.
Фирма не может повлиять на цену, сложившуюся на рынке, как мы уже говорили в предыдущем уроке. Также ей невыгодно устанавливать на свою продукцию отличную от рыночной цену.

Запишем функцию прибыли некой фирмы на каком-либо совершенно конкурентном рынке:

$pi(Q)=TR(Q) -TC(Q)=P cdot Q-TC(Q)$

Рационально действующая фирма будет максимизировать свою прибыль. Найдем производную функции прибыли и приравняем ее к 0:

$pi'(Q)=TR'(Q)-TC'(Q)=MR(Q)-MC(Q)=P-MC=0$

Отсюда найдем оптимальное количество производства товара, сделаем проверку на $min$/$max$. Выберем точку, где функция прибыли достигает максимального значения.

Например, это может выглядеть так:

Как мы видим, обычно фирма получает максимальную прибыль в точке, где предельная выручка равна предельным издержкам. Если точка максимума функции всего одна, как в нашем примере, левее этой точки функция прибыли возрастает, такую ситуацию можно улучшить – произвести большее количество продукции и получить большую прибыль; правее этой точки функция убывает, производство каждой последующей единицы продукции будет уменьшать общую прибыль фирмы.

Для максимизации прибыли фирма выбирает для каждого возможного значения $MR$ оптимальное значение $MC$. Так как на совершенно конкурентном рынке значение предельной выручки при каждом значении $Q$ совпадает со значением цены, то функцией предложения отдельной фирмы принято считать часть ее функции предельных издержек. Для каждого значения цены фирма выберет свое оптимальное количество производимого товара, следуя правилу $MR=MC$, где в данном случае $MR=P$.

Но индивидуальной функцией предложения фирмы будет не вся ее функция предельных издержек, а только возрастающий фрагмент, лежащий выше значения функции средних переменных издержек в точке минимума.

Почему именно так?

Мы выбираем возрастающий участок, ибо в точке пересечения $MR$ и $MC$ на убывающем участке функции предельных издержек функция прибыли достигает своего минимального значения – величина переменных издержек в этой точке (площадь под графиком $MC$) больше, чем величина выручки (площадь под графиком $MR$).

Фирма может работать рынке или покинуть его, если ее не будет удовлетворять получаемая прибыль. В краткосрочном периоде фирма может уйти в убыток, размер которого способен достигать значения постоянных издержек. Фирма будет оставаться на рынке до тех пор, пока получаемая выручка будет покрывать переменные издержки (пока цена продукции не будет ниже минимального значения функции средних переменных издержек; если цена опустится ниже, фирма уйдет с рынка и уже не будет предлагать продукцию):

Фирма остается, если:

Фирма уходит, если:

В долгосрочном периоде считается, что фирмы, получающие какие-нибудь убытки будут постепенно уходить из отрасли, рыночное предложение за счет этого будет уменьшаться, кривая рыночного предложения сдвинется влево вверх. Таким образом, равновесия цена подимется, убытки фирм, оставшихся на рынке уменьшатся. Рынок придет в равновесие. Фирмы будут получать нулевую экономическую прибыль ($pi{экономическая}=TR-TC{экономические}$). У фирм, находящихся на рынке будут отсутствовать стимулы покидать отрасль, у фирм, потенциально способных войти на рынок, исчезнут стимулы это делать (если бы экономическая прибыль была бы положительной, этот рынок был бы сверхприбыльным, у новых фирм были бы стимулы работать на нем).

Если фирмы получают нулевую экономическую прибыль, их выручка равна экономическим издержкам, следовательно, цена равна минимуму средних общих издержек.

Пример 1
На совершенно конкурентном рынке товара установилась цена, равная 16, функция издержек фирмы имеет вид $TC(Q)=Q^2 5$, найти максимальную прибыль фирмы.

$pi=16Q-Q^2-5$

$pi'(Q)=16-2Q=0$

$Q^*=8$

$pi=128-64-5=59$, $pi>0$, фирма остется на рынке

Пример 2
На совершенно конкурентном рынке присутствуют 100 фирм, имеющих одинаковые функции издержек: $TC(Q)=Q^2 5$; спрос задан функцией $Q=100-P$, найти рыночную функцию предложения, равновесную цену и равновесное количество, если обратная функция спроса имеет вид $P=100-0{,}98Q$

Выведем индивидуальную функцию предложения каждой фирмы:

$MC(Q)=TC'(Q)=2Q$

$AVC(Q)=Q$

$AVC$ достигает своего минимального значения в точке $Q=0$, дальше $MC$ проходит всегда выше $AVC$, следовательно, в данном случае кривой предложения одной фирмы будет весь график $MC$.

Найдем рыночное предложение:

$MC=2Q$

$Q=dfrac{MC}{2}$

$Q{рын}=dfrac{100MC}{2}=50MC$

$MC=dfrac{Q}{50}$

$P=dfrac{Q}{50}$ $Q$ принадлежит $[-infty; infty]$

$dfrac{Q}{50}=100-0{,}98Q$

$Q=5000-49Q$

$50Q=5000$

$Q^*=100$

$P^*=dfrac{100}{50}=100-0{,}98 cdot 100 =2$

1. Товар на рынке производит одна фирма, покупателей же большое количество
2. Предлагаемый товар уникален, не имеет близких заменителей
3. Барьеры входа/выхода на рынок очень высокие (патенты, наличие на рынке государственной монополии…)
4. На данном рынке отсутствуют стратегическое поведение фирм и неценовая конкуренция, ибо на нем работает всего лишь одна фирма, обладающая монопольной властью. Покупатели же такой властью не обладают.
5. Информированность на данном рынке неполная – на нем присутствует асимметрия информации

Монополия и максимизация прибыли

Для фирмы-монополиста рыночный спрос на производимый ею товар совпадает со спросом на продукцию данной фирмы.

На рынке, где царствует монополист, не существует кривой предложения производимого товара.

Фирма максимизирует свою функцию прибыли ($pi=P{рын}(Q)cdot Q – TC(Q)$), находит оптимальный объем выпуска $Q^*$, затем, исходя из готовности покупателей платить, выбирает оптимальную цену на свою продукцию.

Пример 1
Спрос на продукцию монополиста задан функцией $Q(P)=100-P$, издержки данной фирмы описываются уравнением $TC(Q)=Q^2$, найти оптимальные объем выпуска и цену.

$P(Q)=100-Q$

$pi (Q)=TR(Q)-TC(Q)=(100-Q)Q-Q^2=100Q-2Q^2$

$pi'(Q)=MR(Q)-MC(Q)=100-4Q=0$

$Q^*=25$

$P^*=P(Q^*)=100-25=75$

Монополия и совершенная конкуренция

Сравним ситуацию, когда фирма ведет себя как монополист, со случаем, когда фирму заставили вести себя как совершенно конкурентную.

Пример 2
Возьмем данные из предыдущей задачи. Оптимальные цену и количество монополиста мы уже знаем – они равны 75 д.ед и 25 шт. Чтобы найти совершенно конкурентное равновесие выведем функцию предложения фирмы:

$MC=2Q$, $ACV$ в данном случае всегда меньше или равно $MC$

Следовательно, $P=2Q$

Мы нашли обратную функцию предложения фирмы, которая будет одновременно и обратной функцией рыночного предложения, ибо фирма всего одна. Приравняем полученную функцию к обратной функции спроса:

$100-Q=2Q$

$3Q=100$

$Q^*=33dfrac{1}{3}$

$P^*=66dfrac{2}{3}$

Как мы видим, в случае, когда фирма ведет себя как совершенный конкурент, количество производимого товара больше, а цена продажи меньше. Бо’льшую прибыль фирма получает при монополии, ибо тогда она, максимизируя функцию прибыли, выбирает именно ту точку, которая принесет ей максимальную прибыль ($Q{мон}$). $Q{ск}$ обычно не совпадает с монопольным объемом производства продукции, следовательно, производство $Q{ск}$ приносит меньшую прибыль, чем производство $Q{мон}$.

Как бы хороша ни была участь монополиста, иногда и такой фирме приходится покинуть рынок:

В отличие от совершенно конкурентной фирмы монополия может получать и в краткосрочном и долгосрочном периодах как отрицательную, так и положительную экономическую прибыль.

Фирма остается в обоих периодах:

В данных ситуациях у фирмы существуют стимулы покинуть рынок в долгосрочном периоде. Она сделает это, если затраты на преодоление барьеров выхода окажутся меньше, чем получаемые фирмой убытки:

Фирма уходит:

Индекс Лернера:

Может пригодиться при решении задач

$dfrac{P-MC}{P}$

На рынке труда со стороны

предложения

труда ($L_S$) выступают работники.

Рыночное предложение труда выглядит так:

При увеличении величины ставки заработной платы количество работников, готовых трудиться, увеличивается.

Фирмы же предъявляют спрос на труд ($L_D$). Основной целью рационально действующй фирмы является максимизация прибыли. Прибыль фирмы зависит от объема произведенной продукции ($pi(Q)$), который в свою очередь зависит от количества используемого для его изготовления фактора производства, в данном случае труда ($Q(L)$). Таким образом, функция прибыли фирмы может быть выражена через $L$.

$pi(L)=TR(L)-TC(L)$

Такую функцию прибыли можно максимизировать по $L$.

$pi'(L)=TR'(L)-TC'(L)=MRP_L-MC_L=0$

После взятия производной, ее приравнивания к нулю и дальнейшей проверки мы найдем, какое количество труда фирме выгодно будет нанять для максимизации своей прибыли

$MRP_L$ – это предельный доход труда в денежном выражении. Показывает доход, полученный фирмой при найме дополнительного работника.

$MC_L$ – предельные издержки труда, затраты фирмы на найм дополнительного работника.

На рынке труда могут встречаться совершенно различные рыночные структуры.

Сравним совершенно конкурентный рынок труда с монополизированным, где работает профсоюз (действия профсоюза эквивалентны действиям монополиста).

$L_D=1000-w$, $MC_L=-200 w$ (В ск $L_S$), найти оптимальное количество нанимаемого труда на совершенно конкурентном рынке данного фактора производства и на монополизированном.

Совершенная конкуренция:

Равновесие на совершенно конкурентном рынке труда достигается также как и на совершенно конкурентном товарном рынке – в точке пересечения кривой спроса с кривой предложения.

$1000-w=-200 w$

$w_{ск}=600$

$L_{ск}=400$

Профсоюз:

Спрос на труд предъявляют фирмы, максимизирующие свою прибыль, профсоюз, выступающий со стороны продавцов, также максимизирует свою прибыль.

$L_D=1000-w$

$w=1000-L_D$

$TR(L)=w(L)cdot L=1000L-L^2$

$MRP_L=TR'(L)=1000-2L$

$MRP_L=MC_L$

$1000-2L=L 200$

$L=dfrac{800}{3}$

Выполним проверку:

$pi'(L)=MRP_L-MC_L=800-3L$

$pi”(L)=-3$

$-3 < 0$, следовательно в точке экстремума находится максимум функции.

Таким образом:

$L_{мон}=dfrac{800}{3}$

Подставляем полученное значение в функцию спроса на труд:

$w_{мон}=dfrac{2200}{3}$

Естественно, у профсоюза как у монополиста нет функции предложения. На графике надпись “$MC_L=L_S$” обозначает, какую кривую надо брать за $MC_L$

$w_{ск} < w_{мон}$

$L_{ск} > L_{мон}$

Так как фирма работает на совершенно конкурентном рынке труда, то она воспринимает ставку заработной платы, сложившуюся на рынке, как заданную, $w=const$. Функция предложения труда для одной фирмы представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, проходящую на уровне равновесной рыночной ставки заработной платы, $w^*=MC_L$.

Фирма выбирает оптимальный для себя объем труда, исходя из стремления максимизировать прибыль. Кривой спроса фирмы на труд является нисходящая ветвь $MRP_L$ (не работаем на восходящем участке, ибо там максимум убытков) ниже наибольшего значения $ARP_L$ (в $SR$ фирма работает, если $TRge VC$, поедим обе части уравнения на $L$, получим $ARP_Lge w$)

Пример
Некоторая фирма является монополистом на рынке товара. Функция спроса на ее товар имеет вид $Q=100-P$. Технология изготовления данного товара описывается функцией $Q=2L$. Вывести функцию спроса фирмы на труд.

$P(Q)=100-Q$

$pi(Q)=100Q-Q^2-TC(Q)$

$TC(Q)=VC(Q) FC$

Так $w=const$, ибо рынок труда совершенно конкурентный, то $VC=wcdot L$

Таким образом, получаем:

$pi(L)=200L-4L^2-wL-FC$

Фирма максимизирует прибыль, при каждом возможном уровне ставки заработной платы она будет нанимать оптимальное число рабочих, соответствующих условию максимизации прибыли:

$pi'(L)=200-8L-w=0$

$pi”(L)=-8<0$, следовательно, максимум.

Делаем еще одну проверку (уходит ли фирма или остается):

$TR(L)=200L-4L^2$

$ARP_L=200-4L$, всегда выше функции $w=200-8L$

Получаем функцию спроса фирмы на труд:

$L=25-0{,}125w$

$Max pi$ в зависимости от рынка товара и ресурса:

Общие условия: $MR(L)cdot MP_L = w'(L) w (L)$ (берем производную сложной функции: $VC(L)=w(L)cdot L$, $VC'(L)=w'(L) w(L)$ -по правилу дифференцирования суммы. Аналогично поступаем с $TR$.

1. Если товарный рынок совершенно конкурентный, рынок труда нет, то $Pcdot MP_L = w'(L) w(L)$
2. Если ресурсный рынок совершенно конкурентный, то $MR cdot MP_L=w$
3. Если оба рынка совершенно конкурентные, то $Pcdot MP_L =w$

Всегда не забываем делать проверку, остается ли фирма на рынке! ($MRP_L le ARP_L$)

Государство может ограничивать объемы продаж на рынке. Посмотрим, что будет происходить на различных рынках при введении квот.

Обозначим за $Q_{max}$ – такой объем продаж, который будет максимально возможным из всех разрешенных государством; за $Q^*$ – равновесный объем продаж на рынке до введения квоты.

Совершенно конкурентный рынок:

Если $Q_{max}ge Q^*$, то на рынке, естественно, будет продаваться такое количество товара, которое продавалось в равновесии до введения квоты.

Если же $Q_{max}< Q^*$, на рынке будет продаваться максимально близкое (из разрешенных) к оптимальному $Q^*$ количество товара – $Q_{max}$.

Монополия:

Как и на совершенно конкурентном рынке, если $Q_{max}ge Q^*$, то будет продаваться некоторое количество товара, которое было оптимальным до введения ограничений.

Если $Q_{max} < Q^*$, монополия будет производить $Q_{max}$ объем продукции, как наиболее близкий к оптимальному.

При введении квоты фирмы могут начать получать убытки, так что необходимо проверять, останутся ли они на рынке или уйдут.

Государство может установить максимально возможную цену на какую-либо продукцию, фирмы не имеют права продавать данный товар по цене выше установленного потолка.

Пусть $P_{max}$ – потолок цены, $P^*$ – равновесная цена, сложившаяся на рынке до вмешательства государства

Совершенная конкуренция

Если $P_{max}ge P^*$, очевидно, что на рынке будет продаваться то равновесное количество блага по той равновесной цене, которые сложились до государственного вмешательства.

В случае $P_{max} < P^*$, цена продаж будет равняться $P_{max}$ (фирмы захотят продать свой товар по той цене, которая будет наиболее близко к оптимальной), при этой цене мы видим, что покупатели готовы приобрести $Q_2$ единиц продукции, что больше, чем готовы продать производители ($Q_1$), фактически же будет продан меньший из рассматриваемых объемов – $Q_1$.

Монополия

Аналогично совершенно конкурентному рынку, если $P_{max}ge P^*$, на монополизированном рынке будет продаваться тот объем продукции, который был оптимальным до введения потолка цен, по старой оптимальной цене.

Если $P_{max} < P^*$, то монополист будет продавать свою продукцию по $P_{max}$.

Установим $P_{max}$ на уровне старой оптимальной цены, будем пускать данную прямую до точки пересечения $D$ с $MC$. Монополия будет выпускать при данных значениях $P_{max}$ такой объем товара, которы будет соответствовать точке пересечения прямых $D$ и $P_{max}$.

Когда $P_{max}=D=MC$ на рынке будет продаваться совершенно конкурентный объем блага по совершенно конкурентной цене.

Начнем опускать линию $P_{max}$ ниже точки пересечения спроса и предельных издержек. Теперь фирма будет производить то количество продукции, которое будет соответствовать точке пересечения $MC$ и $P_{max}$

Пол цены

Государство устанавливает минимально возможную цену, по которой можно продавать продукцию (обозначим ее за $P_{min}$, $P^*$ – равновесия цена, установившаяся на рынке до вмешательства государства).

Совершенная конкуренция

Если $P_{min} le P^*$, на рынке, естественно, будет продаваться тот объем продукции, который был равновесным и до вмешательства государства, цена на данный товар также будет прежняя.

Если $P_{min} > P^*$, цена продаж будет составлять $P_{min}$, при данной цене производители будут готовы продать $Q_2$ единиц продукции, а покупатели будут согласны купить $Q_1$ единиц продукции, $Q_1 < Q_2$, фактический объем продаж на рынке будет $Q_1$, меньший из рассмотренных.

Монополия

Аналогично с совершенной конкуренцией, если $P_{min}le P^*$, монополия будет продавать свой старый оптимальный объем продукции по старой оптимальной цене.

Если же $P_{min} > P^*$, то монополия будет продавать тот объем товара, который будет соответствовать пересечению кривых $D$ и $P_{min}$.

Не забываем проверять, останутся ли фирмы на рынке после вмешательства государства!

— особый вид налога, сумма которого не зависит от количества товара, производимого фирмой. В краткосрочном периоде данный налог относится к квазипостоянным издержкам фирмы.

$TC(Q)=VC(Q) FC T$, где $T$ – величина фиксированного аккордного налога, не зависящая от $Q$, в точке, где $Q=0$, $T$ также равен 0, при других объемах выпуска $T$ это число.

Фирма может уйти с рынка в краткосрочном периоде. Допустим, что $TR-VC=50$, $FC=100$, $T=500$, при положительном выпуске, 0 при нулевом. Если фирма уйдет с рынка, она понесет издержки, равные постоянным (100), если решит остаться, то заплатит налог, прибыль будет равна $-550$, дешевле уйти. Фирма уходит с рынка, если прибыль от производства нулевого объема товара больше, чем от производства оптимального ( оптимального в условиях отсутствия налога).

Влияние аккордного налога на издержки фирмы:
Пример
На рынке действует монополист, спрос на его продукцию описывается обратной функцией $P=100-Q$, издержки имеют вид $TC(Q)=Q^2 100$. На фирму был введен аккордный налог, равный $400$ д.ед. Найдите прибыль фирмы после введения налога.

Запишем функцию прибыли фирмы после введения налога:

$pi(Q) = (100-Q)Q-Q^2-100-400=100Q-2Q^2-500$

Максимизируем прибыль фирмы:

$pi'(Q)=100-4Q=0$

$Q^*=25$

$pi”(Q)=-4<0$, следовательно, максимум

Подставим найденное оптимальное $Q$ в функцию прибыли:

$pi(25)=750>0$, фирма остается на рынке

Аккордная субсидия
Введение аккордной субсидии обратно введению аккордного налога. Если при фиксированном налоге прибыль фирмы уменьшалась на величину, равную величине налога, то при субсидировании прибыль фирмы увеличится на величину введенной субсидии.

– налог, представляющий собой фиксированную сумму, взимаемую с единицы продукции.

Рассмотрим некий рынок (возьмем для примера совершенно конкурентный). Раньше, до вмешательства государства, на данном рынке продавалось некоторое количество продукции $Q^*$ по цене $P^*$. Сумму, которую потребители уплачивали за единицу продукции, полностью получали производители. Цена покупки $P_D$ была равна цене продажи $P_S$.

Представим, что государство ввело на данном рынке потоварный налог по ставке $t$. Теперь фирма должна, получив от покупателя сумму $P_D$ за единицу продукции, отдать государству часть этой суммы, равную ставке налога $t$. В новых условиях фирма получает сумму $P_D-t$ за единицу товара. Фактически для фирмы уменьшилась цена, по которой она продает свой продукт. $P_S=P_D-t$. При введении налога количество покупаемого и продаваемого товара уменьшается.

Действие, которое оказывает налог на ситуацию на рынке, эквивалентно снижению спроса или увеличению издержек. Налог, наложенный на покупателя, окажет такое же влияние на рынок, что и налог, наложенный на производителя.

Рассмотрим, какое действие оказывает налог на функции издержек одной фирмы:

$TC(Q)_2=TC(Q)_1 tQ$

Пример 1
Спрос на совершенно конкурентном рынке задан функцией $Q_D=100-P_D$, предложение – $Q_S=P_S$, государство вводит налог по ставке 4, найти равновесное количество продаваемого товара, цену покупателя ($P_D$), цену продавца ($P_S$).

Решать такую задачу удобно, составив следующую систему уравнений:

$begin {cases}
Q_D=100-P_D\
Q_S=P_S\
Q_D=Q_S\
P_D=P_S 4
end {cases}$

Отсюда получаем:

$100-(P_S 4)=P_S$

$P_S=48$

$P_D=48 4=52$

$Q_D=Q_S=48$

Пример 2
Спрос на совершенно конкурентном рынке задан функцией $Q_D=100-P_D$, предложение – $Q_S=P_S$, государство хочет максимизировать сумму налоговых поступлений. Найдите $Q^*$, $P_D$, $P_S$, оптимальную ставку налога, сумму налоговых поступлений, построить кривую Лаффера

$begin {cases}
Q_D=100-P_D\
Q_S=P_S\
Q_D=Q_S\
P_D=P_S t
end {cases}$

$100-P_S-t=P_S$

$P_S=dfrac{100-t}{2}$

$Q_S=P_S=dfrac{100-t}{2}$

Сумма налоговых поступлений будет равна ставке налога, умноженной на количество проданного товара:

$T=tcdot Q^*$

$T(t)=tcdot Q(t)$

$T(t)=tcdot (dfrac{100-t}{2})=50t-0{,}5t^2$

Данная функция, описывающая зависимость суммы налоговых поступлений от ставки налога, называется кривой Лаффера.

Максимизируем данную функцию:

$T'(t)=50-t$

$t^*=50$

$T”(t)=-1<0$, максимум

Теперь изобразим ее:

$Q_D=Q_S=25$

$P_D=75$

$P_S=25$

$T=50cdot 25=1250$

Пример 3

Принцип введения налога на монополизированном рынке такой же как и на совершенно конкурентном.

$P_D(Q)=100-Q$, $TC(Q)=Q^2 10$, $t=510$, найти прибыль фирмы после введения налога

Введем налог на продавца. Он увеличивает издержки фирмы:

$TC(Q)_2=TC(Q)_1 tQ=Q^2 10Q 10$

$pi(Q)=100Q-Q^2-Q^2-10Q-10=90Q-2Q^2-10$

$pi'(Q)=90-4Q=0$

$Q^*=22{,}5$

$pi(Q)=1002{,}5>0$, фирма остается на рынке

Пример 4

Действие потоварной субсидии обратно действию потоварного налога.

Спрос на совершенно конкурентном рынке задан функцией $Q_D=100-P_D$, предложение – $Q_S=P_S$, государство вводит субсидию по ставке 4, найти равновесное количество продаваемого товара, цену покупателя ($P_D$), цену продавца ($P_S$).

Покупатель платит за единицу товара $P_D$ меньшую $P_S=P_D s$

$begin {cases}
Q_D=100-P_D\
Q_S=P_S\
Q_D=Q_S\
P_D=P_S-4
end {cases}$

$100-P_S s=P_S$

$P_S=52$

$P_D=48$

$Q_S=Q_D=52$

налог, взимаемый в процентах от цены продаваемого товара.

Налог может считаться в процентах от цены потребителя (в долях), тогда $P_S=(1-t)cdot P_D$, или же от цены производителя $P_D=(1 t)cdot P_S$.

Данный налог, наложенный на потребителя, влияет на рынок также как и налог, наложенный на производителя. Аналогично потоварному налогу стоимостной налог “уменьшает” спрос или увеличивает издержки производителей:

Пример 1
На совершенно конкурентном рынке функция спроса на товар имеет вид $Q_D=100-P_D$, предложения – $Q_S=P_S$, государство вводит стоимостной налог – 40% от цены производителя. Найти $P_D$, $P_S$, $Q^*$ после введения налога.

$P_D=(1 0{,}4)cdot P_S=1{,}4P_S$

$begin {cases}
Q_D=100-P_D\
Q_S=P_S\
Q_D=Q_S\
P_D=1{,}4P_S\
end {cases}$

$100-1{,}4P_S=P_S$

$P_S=41{,}(6)$

$P_D=58{,}(3)$

$Q_D=Q_S=41{,}6$

Пример 2
На совершенно конкурентном рынке функция спроса на товар имеет вид $Q_D=100-P_D$, предложения – $Q_S=P_S$, государство вводит стоимостной налог – 40% от цены потребителя. Найти $P_D$, $P_S$, $Q^*$ после введения налога, найти сумму налоговых поступлений.

$P_S=(1-0{,}4)cdot P_D=0{,}6P_D$

Запишем систему:

$begin {cases}
Q_D=100-P_D\
Q_S=P_S\
Q_D=Q_S\
P_S=0{,}6P_D\
end {cases}$

$100-P_D=0{,}6P_D$

$100=1{,}6P_D$

$P_D=62{,}5$

$P_S=37{,}5$

$Q_D=Q_S=37{,}5$

$T=tcdot P_D cdot Q^*$

$T=0{,}4cdot 62{,}5 cdot 37{,}5=937{,}5$

Пример 3
На рынке работает монополия. $P_D=100-Q_D$, $TC=Q^2 10$, государство ввело налог, равный 40% цены покупки. Найти прибыль фирмы после введения налога

$pi(Q)=0{,}6(100-Q)Q-Q^2-10=60Q-1{,}6Q^2-10$

$pi'(Q)=60-3{,}2Q=0$

$Q=18{,}75$

$pi”(Q)=-3{,}2<0$, максимум

$pi=763{,}4375>0$, фирма остается на рынке

Действие стоимостной субсидии обратно действию налога

Пример 4
На совершенно конкурентном рынке функция спроса на товар имеет вид $Q_D=100-P_D$, предложения – $Q_S=P_S$, государство вводит стоимостную субсидию – 40% от цены производителя. Найти $P_D$, $P_S$, $Q^*$ после введения налога, найти сумму налоговых поступлений.

$P_D=0{,}6P_S$

$begin {cases}
Q_D=100-P_D\
Q_S=P_S\
Q_D=Q_S\
P_D=0{,}6P_S\
end {cases}$

$100-0{,}6P_S=P_S$

$P_S=62{,}5$

$P_D=37{,}5$

$Q_D=Q_S=37{,}5$

Возьмем некоторую функцию $y=f(x)$. Возьмем некоторый произвольный $x_1$ из области определения данной функции, ему будет соответствовать единственный $y_1=f(x_1)$. Теперь вместо $x_1$ подставим в имеющуюся функцию $x_2$ (также принадлежащий её области определения). Получим $y_2=f(x_2)$. В зависимости от вида данной функции $y=f(x)$ можем получить, что $y_2=y_1$ или же, что $y_2neq y_1$. Функция реагирует на изменение её аргумента. $y_2$ может отличаться от $y_1$ на большую величину $Delta y$, а может и на маленькую.

Эластичность функции

как раз и показывает степень её реакции а изменение аргумента.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется значение функции при увеличении аргумента на один процент.

$E_x^y=dfrac {Delta F(x) (проценты) }{Delta x (проценты) }=dfrac {Delta y / y }{Delta x / x}=dfrac{Delta y}{Delta x} cdot dfrac{x}{y}$

В данной формуле $x$ традиционно был принят за независимую переменную.

Если нам нужно посчитать эластичность функции в какой-либо точке (когда изменение аргумента стремится к 0), то можно воспользоваться следующей формулой точечной эластичности:

$E=limlimits_{Delta x to 0} dfrac {Delta y}{Delta x} cdot dfrac{x}{y}=y'(x) cdot dfrac{x}{y}$

Пример 1
Функция спроса имеет вид $Q(P)=100-P$, посчитать эластичность в точке $Q=50$.

$Q=50$, значит и $P=50$

$Q'(P)=-1$

$E=-1 cdot dfrac{50}{50}= -1$

Формулой точечной эластичности можно также пользоваться, когда нужно узнать эластичность в окрестностях какой-либо точки – при малых изменениях функции и аргумента (до 10%):

$E=dfrac{Delta y}{Delta x} cdot dfrac{x}{y}=dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} cdot dfrac{x_1}{y_1}$

Пример 2
При увеличении цены с 50 до 51 д.ед количество покупаемого товара снизилось с 200 до 195 шт. Найти точечную эластичность

$E=dfrac{195-200}{51-50} cdot {50}{200}=-1{,}25$

При больших приращениях функции и аргумента (более 10%) мы ищем чувствительность функции к изменению аргумента на некотором отрезке измерения. Тогда воспользуемся формулой дуговой эластичности, которая поможет избежать проблемы, возникшей бы, если бы мы пользовались формулой для расчета точечной эластичности – при использовании формулы точечной эластичности для подсчета эластичности на отрезке на конечный результат влияет то, какую точку мы считаем $x_1$, а какую $x_2$:

Пример 3
Имеется линейная функция $Q=100-P$, взята точка $A$ c координатами $(25;75)$ и точка $B$ с координатами $(75;25)$ (на первом месте стоит цена). Необходимо посчитать эластичность на отрезке $AB$

Посчитаем по формуле точечной эластичности. Пусть $P_1=x_1=25$, $P_2=x_2=75$. Тогда:

$E=dfrac{25-75}{75-25} cdot dfrac{25}{75}=-dfrac{1}{3}$

Теперь пусть $x_1=75$, $x_2=25$

$E=dfrac{75-25}{25-75} cdot {75}{25}=-3$

Показатели эластичности на отрезке $AB$ различаются в зависимости от того, какую точку $A$ или $B$ принять за начало отрезка. поэтому для расчета эластичности функции при больших изменениях аргумента и зависимой переменной используется формула дуговой эластичности:

$E=dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} cdot dfrac { dfrac{x_2 x_1}{2}}{dfrac{y_2-y_1}{2}}=dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} cdot {x_2 x_1}{y_2 y_1}$

В данной формуле для расчета эластичности вторым множителем выступает не координата начальной точки, а координата точки, располагающейся в середине отрезка $AB$. Теперь значение эластичности не зависит от выбора направления движения.

Посчитаем эластичность по новой формуле. $x_1=25$, $x_2=75$

$E=dfrac{25-75}{75-25} cdot dfrac{75 25}{25 75}=-1$

Теперь $x_1=75$, $x_2=25$

$E=dfrac{75-25}{25-75} cdot dfrac{25 75}{75 25}=-1$

Считать эластичность по формуле дуговой эластичности можно и при малых (до 10%) изменениях аргумента и функции. Значение дуговой и точечной эластичности тогда будут близки. Точечная эластичность показывает реакцию функции на изменение аргумента в точке или в её окрестности, дуговая же показывает чувствительность функции к изменению аргумента на некотором отрезке.

Если эластичность функции в какой-любо точке/ на каком-либо отрезке равна 0, то данная функция в этом месте является совершенно неэластичной, если $0< E< 1$, то это неэластичный фрагмент, если $E=1$, то это фрагмент с единичной эластичностью, если $1< E< infty$, то фрагмент функции эластичен, если $E=infty$, то он совершенно эластичен.

Пусть у нас имеется фрагмент некоторой функции спроса:

Рассмотрим формулу точечной эластичности:

$E_x^y=y'(x)cdot(dfrac{x}{y})$

В данной записи геометрический смысл первого сомножителя – тангенс угла наклона касательной, проведенной к функции в некоторой интересующей нас точке, второго – тангенс угла наклона луча, проведенного из начала координат к точке, в которой мы хотим вычислить точечную эластичность. Построим:

$E_x^y=y'(x)cdot(dfrac{x}{y})=-{tgalpha}cdot{tgbeta}$

$tgalpha=dfrac{BE}{AB}$

$tgbeta=dfrac{CE}{CO}$

$E_x^y=-dfrac{{BE}cdot{CE}}{{AB}cdot{CO}}$

$BE=CO$

$CE=BO$

$E_x^y=-dfrac{BO}{AB}$

Также:

$E_x^y=-dfrac{CD}{CO}$

Аналогично выводится геометрический смысл точечной эластичности предложения, а также любой другой функции (только необходимо следить за тем, какая переменная является зависимой, а какая независимой).

Возьмем функцию предложения:

$E_x^y=y'(x)cdot(dfrac{x}{y})={tgalpha}cdot{tgbeta}$

$tgalpha=dfrac{AE}{AB}$

$tgbeta=dfrac{DE}{DO}$

$E_x^y=dfrac{{AE}cdot{DE}}{{AB}cdot{DO}}$

$AE=DO$

$DE=AO$

$E_x^y=dfrac{AO}{AB}$

Также:

$E_x^y=dfrac{CD}{DO}$

Геометрическим смыслом точечной эластичности удобно пользоваться, когда предложена линейная функция.

Пример 1
Дана функция предложения $Q=-10 P$, найти точечную эластичность при $Q=5$

Решим задачу, заодно найдем геометрический смысл точечной эластичности предложения.

$Q=5$, $P=15$

Изобразим нашу функцию, сделаем обозначения:

$E_x^y=dfrac{AO}{AB}=dfrac{15}{5}=3$

Геометрический смысл дуговой эластичности:

Рассмотрим случай с функцией спроса:

Вычислим дуговую эластичность в точке I.

Помним, что

$E^y_x={dfrac{y_F-y_G}{x_F-x_G}}cdot{dfrac{(x_F x_G)/2}{(y_F y_G)/2}}$

Первый сомножитель – тангенс угла наклона хорды, проведенной через F и G к положительному направлению оси P. Геометрический смысл второго сомножителя – тангенс угла наклона луча, проведенного из начала координат к точке I (I – середина отрезка FG).

$E_x^y=-{tgalpha}cdot{tgbeta}$

$tgalpha=dfrac{IL}{AL}$

$tgbeta=dfrac{IM}{MO}$

$E_x^y=-dfrac{{IL}cdot{AL}}{{IM}cdot{MO}}$

$IL=MO$

$IM=OL$

$E_x^y=-dfrac{LO}{AL}=-dfrac{KM}{MO}$

Пример 2
Пусть имеется некоторая функция спроса. В точке F цена равна 20, а преобретаемое количество товара – 15. В точке G цена равняется 10, покупатели готовы купить по такой цене 30 единиц продукции. Найти дуговую эластичность при переходе из одной точки в другую, используя ее геометрический смысл.

Построим график, проведем хорду через точки F и G, обозначим точку I – середину данного отрезка, проведем луч, выходящий из начала координат к этой точке, сделаем обозначения на осях:

Как мы знаем:

$E_x^y=-dfrac{LO}{AL}=-dfrac{KM}{MO}$

Нам нужны координаты точек L и A. Чтобы узнать координату точки A, выведем функцию хорды:

$ begin{cases}
30=10a b
\
15=20a b
\
end{cases}
$

Получим $Q=45-1,5P$
Откуда координата точки A – $(45;0)$

Координаты точки L – как середины отрезка BH – $dfrac{10 20}{2}=15$ $(15;0)$.

$E_x^y=-dfrac{LO}{AL}=-dfrac{15}{15}=-1$

$E={dfrac{Q_{i2}-Q_{i1}}{P_{n2}-P_{n1}}} cdot {dfrac{P_{n1}}{Q_{i1}}}$
$E=Q_{i}'(P_n) cdot {dfrac{P_n}{Q_i}}$
$E={dfrac{Q_{i2}-Q_{i1}}{P_{n2}-P_{n1}}} cdot {dfrac{P_{n2} P_{n1}}{Q_{n2} Q_{i1}}}$

Если перекрестна эластичность больше 0, это указывает на то, что при увеличении цены на другой товар, величина спроса на данный товар растет. Следовательно, товары являются взаимозаменяющими. Если зависимость между ценой другого товара и количеством данного товара отрицательная, то товары являются взаимодополняющими.

$E={dfrac{Q_{2}-Q_{1}}{I_{2}-I_{n1}}} cdot {dfrac{I_{1}}{Q_{1}}}$
$E=Q'(I) cdot {dfrac{I}{Q}}$
$E={dfrac{Q_{2}-Q_{1}}{I_{2}-I_{1}}} cdot {dfrac{I_{2} I_{1}}{Q_{2} Q_{1}}}$

Если $E$ принадлежит:

$(-infty;0)$, благо является инфериорным (некачественным)
$(0;infty)$, благо является качественным,
также $(0;1)$ – товар первой необходимости (потребление растет медленнее дохода), 1 – товар с единичной эластичностью, $(1; infty)$ – товар роскоши (потребление растет быстрее дохода)